Bidang Gaya Dalam Balok dan Portal Sederhana

Soal 1 : Balok Sederhana dengan Kantilever di Sisi Kanan

 Hitung dan gambar bidang M, L, N dari struktur di atas.

Pada soal ini, arah reaksi perletakan diasumsi sebagai berikut :

V_A ke atas (↑)

V_B ke atas (↑)

H_A ke kanan (→)

Σ H = 0 → H_A - 400 + 200 = 0

H_A = 200 kN (→)

Σ M_A = 0 → -V_B (5) + (600 x 3) (1.5) + 400(3) + 200(7) = 0

5V_B = 5300

V_B = 1060 kN (↑)

Σ M_B = 0 → V_A (5) + 200 (2) - 400 (2) - (600 x 3)(3.5) = 0

5V_A = 6700

V_A = 1340 kN (↑)

Check Σ V = 0?

V_A + V_B - (600x3) - 400 - 200 = 0

1340 + 1060 - 1800 - 600 = 0 (OK)

Interval untuk gaya dalam ditentukan sebagai berikut :

 Interval 1 (0 < x₁ < 3m)    [lihat kiri]

M_x1        = +V_A x₁ - q x₁ (0.5 x₁)

              = 1340 x₁ - 0.5 (600) (x₁²)

              = 1340 x₁ - 300x₁²                            (persamaan derajat 2 / pangkat 2)

x₁ = 0 → M_x1 = 0

x₁ = 1.5 m → M_x1 = 1335 kNm (∪)

x₁ = 3 m → M_x1 = 1320 kNm (∪)

L_x1         = +V_A - q x₁ = 1340 - 600 x₁

x₁ = 0 → L_x1 = 1340 kN (↿⇂)

x₁ = 3 m → L_x1 = -460 kN (⇃↾)

Mencari letak dan besaran momen maksimum :  L_x = 0

1340 - 600 x₁ = 0 → x₁ = 2.2333 m

M_max = 1340 (2.2333) - 300 (2.2333)² = 1496.3333 kNm

N_x1 = -H_A = -200 kN (tekan)

Interval 2 (0 < x₂ < 2m)    [lihat kanan]

M_x2        =  -200x₂                                               (garis lurus / linear)

x₂ = 0 → M_x2 = 0

x₂ = 2 m → M_x2 = -400 kNm (∩)

L_x2         = 200 kN (↿⇂)

N_x2        = 2000 kN (tarik)

Interval 3 (0 < x₃ < 2 m)    [lihat kiri]

M_x3        =  -200(2 + x₃) + V_B x₃

              = 860 x₃ - 400                                           (garis lurus / linear)

x₃  = 0 → M_x3 = -400 kNm (∩)

x₃  = 2 m → M_x2 = 1720 - 400 = 1320 kNm (∪)

L_x3 = 200 - V_B = 200 - 1060 = -860 kN (⇃↾)

N_x3 = 200 kN (tarik)

Hasil perhitungan nilai gaya dalam di atas kemudian diplot untuk mendapatkan bidang gaya dalam.

Gambar Bidang Gaya Dalam (M, L, N)

 *bidang gaya dalam tidak berskala

Urutan gambar dari atas ke bawah adalah, bidang momen lentur, bidang gaya lintang, bidang gaya normal.



Soal 2 : Portal Sederhana dengan Kantilever

Hitung dan gambar bidang M, L, N

tanα = 4/3          sinα = 0.8         cosα = 0.6

Pada soal ini, arah reaksi perletakan diasumsi sebagai berikut :

V_A ke atas (↑)

V_B ke atas (↑)

H_A ke kanan (→)

Σ H = 0 → H_A + 30 = 0

H_A  = -30 kN (asumsi salah)

H_A = 30 kN (→)

Σ M_A = 0 → -V_B (8) + 30(10) + 30(4) + (40 x 5)(3+2.5) + 60(1.5) =0

V_B = 201.25 kN (↑)

Σ M_B = 0 → V_A (8) + H_A (4) - 60 (1.5 +5) - (40 x 5)2.5 + 30(2) = 0

8V_A = 710

V_A = 88.75 kN (↑)

Check Σ V = 0?

V_A + V_B - 60 - (40 x 5) - 30 = 0

88.75 + 201.25 - 60 -200 -30 = 0 (OK)

Interval untuk gaya dalam ditentukan sebagai berikut :

 Interval 1 (0 < x₁ < 1.5 m)

M_x1        = V_A (x₁) + H_A tan α x₁

                        = 88.75 x₁ + 40x₁ = 128.75x₁

x₁ = 0 → M_x1 = 0

x₁ = 1.5 m → M_x1 = 193.125 kN m (∪)

L_x1         = V_A cos α + H_A sin α

              = 88.75 (0.6) + 30 (0.8) = 77.25 kN (↿⇂)

N­_x1        = -V_A sin α + H_A cos α

              = -88.75 (0.8) + 30 (0.6) = -53 kN (tekan)

Interval 2 (0 < x₂ < 1.5 m)

M_x2        = V_A (1.5 + x₂) + H_A (2 + 4/3 x₂) - 60 x₂

              = 193.125 + 68.75 x₂

x₂ = 0 → M_x2 = 193.125 kNm (∪)

x₂ = 1.5 m → M_x2 = 296.25 kNm (∪)

L_x2         = V_A cos α + H_A sin α - 60 cos α 

              = 88.75 (0.6) + 30 (0.8) - 60 (0.6) = 41.25 kN (↿⇂)

N­_x2        = -V_A sin α + H_A cos α + 60  sin α

              = -88.75 (0.8) + 30 (0.6) + 60 (0.8) = -5 kN (tekan)

Interval 3 (0 < x₃ < 2m)

M_x3        = - 30 x₃

x₃ = 0 → M_x3 = 0

x₃ = 2 m → M_x3 = -60 kNm (∩)

L_x3 = 30 kN (↿⇂)

N_x3 = 30 kN (tarik)

Interval 4 (0 < x₄ < 5m)

M_x4        = - 30 (2 + x₄) - q x₄ (0.5 x₄) + V_B (x₄)

              = -20 x₄² + 171.25 x₄ - 60

x₄ = 0 → M_x4 = 0

x₄ = 2.5 m → M_x4 = 243.125 kNm (∪)

x₄ = 5 m → M_x4 = 296.25 kNm (∪)

Mencari letak dan besaran momen maksimum :  L_x = 0

-40 x₄ + 171.25 = 0 → x₄ = 4.28125 m

M_max = -20 (4.28125) ² + 171.25 (4.28125)  - 60= 306.5820 kNm

L_x4         = 30 - V_B + q x₄

              = 171.25 + 40x₄

x₄ = 0 → L_x4 = -171.25 kN (⇃↾)

x₄ = 5 m → L_x4 = 28.75 kN (↿⇂)

N_x4 = 30 kN (tarik)

Gambar Bidang Gaya Dalam (M, L, N)   *tidak berskala

 Bidang Momen Lentur

Bidang Gaya Lintang

 Bidang Gaya Normal

Soal 3: Balok Kantilever

Hitung dan gambar bidang M, L, N

Σ V = 0 → V_A - (40 x 3) - 60 = 0

V_A = 180 kN (↑)

Σ H = 0 → -H_A + 60 = 0

H_A = 60 kN (←)

Σ M_A = 0 → -M_A + 120(1.5) + 60(6) = 0

M_A = 540 kN m (↺)

Interval untuk gaya dalam ditentukan sebagai berikut :

Interval 1 (0 < x₁ < 3m)

M_x1                      = -M_A + V_A x₁ - q x₁ (0.5 x₁)

                             = -20 x₁² + 180 x₁ - 540

x₁ = 0 → M_x1 = -540 kN m (∩)

x₁ = 1.5 m → M_x1 = -315 kN m (∩)

x₁ = 3 m → M_x1 = -180 kN m (∩)

L_x1 = V_A - 40x₁ = 180 - 40x₁

x₁ = 0 → L_x1 = 180 kN (↿⇂)

x₁ = 3 m → L_x1 = 60 kN (↿⇂)

N_x1 = H_A = 60 kN (tarik)

Interval 2 (0 < x₂ < 3m)

M_x2 = -60x₂

x₂ = 0 → M_x2  = 0

x₂ = 3 m  → M_x2  = -180 kN m (∩)

L_x2 = 80 kN (↿⇂)

N_x2 = 60 kN (tarik)

Gambar Bidang Gaya Dalam (M, L, N)   *tidak berskala

Soal 4: Portal Jepit Bebas

Hitung dan gambar bidang gaya dalam

tan α = 1.5 / 3 = 0.5

α = 26.5651°

tan β = 1.5 / 4 = 0.275

β = 20.5560°

Σ V = 0 → V_A - 160 - 20 = 0

V_A = 180 kN (↑)

Σ H = 0 → -30 + H_A = 0

H_A = 30 kN (→)

Σ M_A = 0 → 160 (2) - 30(6 + 1.5) - 20(3) - M_A = 0

M_A = 35 kN m (↺)

Interval untuk gaya dalam ditentukan sebagai berikut :

Interval 1 (0 < x₁ < 6 m)

M_x1 = -M_A - H_A x₁ = -35 - 30x₁

x₁ = 0 → M_x1  = -35 kNm (∩)

x₁ = 6 m → M_x1 =-215 kNm (∩)

L_x1 = -H_A = -30 kN  (⇃↾)

N_x1 = -V_A = -180 kN (tekan)

Interval 2 (0 < x₂ < 3 m)

M_x2 = -20x₂

x₂ = 0 → M_x2 = 0

x₂ = 3 m → M_x2 = -60 kNm (∩)

L_x2 = -P cos α = -20 cos (26.5651° ) = -17.8892 kN  (⇃↾)

N_x2 = -P sin α = -20 sin (26.5651°) = - 8.9443 kN (tekan)

Interval 3 (0 < x₃ < 4 m)

M_x3        = -q x₃ (0.5 x₃) + 30 tan β  x₃

              = -20x₃² + 11.25 x₃

x₃ = 0 → M_x3 = 0

x₃ = 2 m → M_x3 = -57.5 kN m

x₃ = 4 m → M_x3 = -275 kN m

Letak dan besar momen maksimum :

x₃ = 0.2812 m

M_max = -20(0.2812) ² + 11.25 (0.2812) = 1.582 kN m (∪)

L_x3              = q x₃ cos β - 30 sin β

                   = 37.4532 x₃ - 10.5337

x₃ = 0 → L_x3 = -10.5337 kN  (⇃↾)

x₃ = 4 m → L_x3 = 139.2591 kN  (↿⇂)

N_x3             = -q x₃ sin β - 30 cos β

                   = -14.0449 x₃  - 28.0899

x₃ = 0 → N_x3 = -28.0899kN  (tekan)

x₃ = 4 m → N_x3 = -84.2695 kN  (tekan)

Check keseimbangan momen titik B

Σ M_B = 0 → 215 +60 - 275 = 0 (OK)

 Bidang Momen Lentur

 Bidang Gaya Lintang

Bidang Gaya Normal

Soal 5 : Portal dengan beban lateral / horisontal

Hitung dan gambar bidang M, L, N

Pada soal ini, arah reaksi perletakan diasumsi sebagai berikut :

V_A ke atas (↑)

V_B ke atas (↑)

H_B ke kanan (→)

tan α = 4/3   sin α = 0.8     cos α = 0.6

Σ H = 0 → H_B­ - 1200 + (800 x 4) = -2000 kg (asumsi salah)

H_B = 2000 kg (←)

Σ M_A = 0 → (800 x 4) (2) - 1200 (4) - V_B (4) = 0

4 V_B = 1600

V_B = 400 kg (↑)

Σ M_B = 0 → (800 x 4) (2) - 1200 (4) + V_A (4) = 0

4 V_A  = -1600

V_A = -400 (pemisalan salah)

V_A = 400 kg (↓)

Interval untuk menghitung gaya dalam ditentukan sebagai berikut :

Interval 1 (0 < x₁ < 4m)

M_x1 = -0.5 q x₁² = -40 x₁²

x₁ = 0 → M_x1 = 0

x₁ = 2 m → M_x1 = -1600 kg m (∩)

x₁ = 4 m → M_x1 = -6400 kg m (∩)

L_x1 = -q x₁ = -800 x₁

x₁ = 0 → L_x1 = 0

x₁ = 4m → L_x1 = - 3200 kg (⇃↾)

N_x1 = V_A = 400 kg (tarik)

Interval 2 (0 < x₂ < 7 m)

M_x2 = -V_A x₂ - (800 x 4)2 = -400  x₂ - 6400

x₂ = 0 → M_x2 = -6400 kg m

x₂ = 7 m → M_x2 = -9200 kg m

L_x2 = -V_A = - 400 kg (⇃↾)

N_x2 = - (800 x 4) = -3200 kg (tekan)

Interval 3 (0 < x₃ < 3 m)

M_x3 = -V_B x₃ - H_B (4/3 x₃) = -3066.667 x₃

x₃ = 0 → M_x3 = 0

x₃ = 3 m → M_x3 = -9200 kg m

L_x3 = V_B cos α + H_B sin α  = 400 (0.6) + 2000 (0.8) = 1840 kg (↿⇂)

N_x3 = -V_B sin α + H_B cos α = -400 (0.8) + 2000 (0.6) = 880 kg (tarik)

Bidang Gaya Dalam (*tidak berskala)

Bidang Momen Lentur

 Bidang Gaya Lintang

Bidang Gaya Normal

Pengantar Gaya Dalam

Gaya Dalam

Selain reaksi perletakan akibat beban luar, gaya-gaya dalam juga timbul di dalam suatu struktur akibat pembebanan luar.  Gaya dalam ini akan dikelompokkan menjadi 4 macam, namun hanya yang 3 pertama yang dicari dalam statika.

Dibawah ini terdapat gambaran balok tertumpu sederhana (simple beam) dengan potongan gaya-gaya dalam yang bekerja pada sembarang titik di balok tersebut.  Setelah struktur dipotong, syarat-syarat keseimbangan harus tetap terpenuhi, hal ini tercapai karena adanya gaya dalam.

Gambar di atas adalah balok tertumpu sederhana yang dibebani dengan beban merata w  dan beban horisontal P.  Pembebanan ini akan timbul beberapa macam gaya dalam pada suatu potongan seperti gambar berikut ini.

 Pada potongan dari gambar di atas, terlihat ada 3 gaya dalam dengan arah dan sifat yang berbeda-beda.  Tiga gaya dalam tersebut adalah:

1.   Gaya Normal / Aksial (Axial Force)

Gaya normal atau aksial adalah gaya dalam yang bekerja sejajar dengan as atau sumbu balok.  Pada gambar di atas, panah berwarna merah menunjukkan gaya dalam aksial yang timbul.  Terdapat dua sifat gaya normal, yaitu itu tarik (tension) dan tekan (compression).  Gaya nomal tarik terjadi saat gaya normal "menarik" elemennya atau arah gaya menjahui/meninggalkan potongan (←→) sedangkan gaya normal tekan terjadi saat gaya normal "menekan" elemennya atau arah gaya mendekati/menghampiri potongan (→←).  Pada umumnya, sifat tarik adalah postif (+) dan sifat tekan adalah negatif (-).  Di sini, gaya aksial diberi notasi "N".

 2.  Gaya Lintang / Geser (Shear Force)

Gaya lintang atau geser adalah gaya dalam yang bekerja tegak lurus dengan as atau sumbu balok.  Pada gambar di atas, panah berwarna biru menunjukkan gaya dalam lintang yang timbul.  Perjanjian arah untuk gaya lintang adalah positif untuk searah jarum jam (↑↓) dan negatif untuk berlawanan arah jarum jam (↓↑).   Pada gambar di atas gaya lintang pada potongan itu bertanda positif.  Di sini, gaya lintang diberi notasi "L".

3. Momen Lentur (Bending Moment / Flexure)

Momen lentur adalah gaya dalam yang berupa momen, di mana salah satu serat balok tertarik dan yang satu lagi tertekan.  Pada gambar di atas, panah berwarna hijau menunjukkan momen lentur yang timbul.  Karena suatu benda mengalami lentur, dia akan lengkung sehingga timbul tegangan tarik pada satu sisi dan tegangan tekan pada sisi yang lainnya.  Pada umunya, momen lentur positif adalah saat serat atas tekan dan serat bawah tarik, dan momen lentur negatif adalah saat serat atas tarik dan serat bawah tekan.  Arah momen lentur di atas adalah positif, di mana bisa dilihat arah panah "menekan" sisi atas dan "menarik" sisi bawah.  Notasi untuk momen positif adalah ∪ dan notasi untuk momen negatif adalah ∩.   Di sini, momen lentur diberi notasi "M".

Satu hal yang harus diingatkan, momen lentur adalah integral dari lintang (lintang adalah turunan dari momen lentur).  Jadi, dengan mengetahui hubungan ini, lokasi/letak nilai momen lentur maksimum dapat dicari dengan:

 Setelah mendapatkan nilai jarak x pada saat momen lentur maskimum, nilai tersebut diinput ke fungsi momen lentur untuk mendapatkan besaran momen lentur maksimum.

Gambar di atas adalah rangkuman perjanjian arah untuk gaya dalam yang positif, untuk potongan yang milihat ke kiri maupun ke kanan.  Panah warna merah adalah gaya aksial/normal, biru muda adalah lintang/geser, dan hijau adalah momen lentur.

Selain 3 macam gaya dalam yang sudah dijelaskan di atas, terdapat satu macam lagi yaitu momen torsi.  Namun pada statika, momen torsi ini blm di tinjau karena pemodelan struktur masih 2 dimensi. 

Nilai-nilai gaya dalam biasanya disajikan dalam bentuk grafis yang disebut bidang gaya dalam.  Bidang gaya dalam ini sangat membantu untuk melihat bagaimana pola dan nilai maksimum gaya dalam yang ditinjau.  Untuk bidang gaya normal dan lintang, nilai positif digambarkan di atas garis, untuk momen lentur, gambar bidang momen digambarkan pada sisi serat tarik.

Gaya-gaya dalam yang dihitung akan digunakan untuk mencari nilai tegangan yang terjadi pada suatu struktur.  Tegangan yang terjadi tidak boleh melebihi batas amannya.

Langkah-langkah menghitung gaya dalam :

11.      Carilah semua reaksi perletakan struktur

22.      Bagi struktur menjadi beberapa interval yang panjangnya dapat berbeda-beda.  Interval bisa dimulai dari arah mana aja (kiri/kanan) dan mulai pada saat x = 0 sampai x = panjang interval (0 < x < L).  Interval harus dibagi / harus dibuat interval baru setiap :

a.       Ketemu beban terpusat/titik (termasuk reaksi perletakan)

b.       Awal dan akhir beban merata

33.      Kalau terdapat gaya yang bekerja dalam arah yang tidak sejajar atau tegak lurus terhadap as balok, gaya tersebut harus diuraikan terlebih dahulu dalam arah yang sejajar dan tegak lurus as balok.

44.      Setelah semua interval sudah ditentukan, mulai cari persamaan gaya dalam (N, L, M)

a.       N = jumlahkan semua gaya yang bekerja sejajar garis member dikiri/kanan potongan.

b.       L = jumlahkan semua gaya yang bekerja tegak lurus garis member dikiri/kanan potongan.  Perhatikan, kalau terdapat beban merata pada interval yang dihitung, persamaan gaya lintang harus berupa fungsi dari x.
 [beban merata persegi fungsi derajat 1 (x), beban merata segitiga fungsi derjat 2 (x²), dst.]

c.       M = jumlahkan nilai momen terhadap suatu titik sembarang "x" pada interval yang dihitung.  Kalau terdapat beban tegak lurus garis member (beban transversal), persamaan momen lentur harus berupa fungsi dari x.
[beban terpusat fungsi derajat 1 (x), beban merata segiempat fungsi derjat 2  (x²), beban merata segitiga fungsi derjat 3  (x³),dst.]
Cari nilai momen lentur maksimum dengan mencari nilai x pada saat lintang = 0.  Lalu nilai x ini dimasukkan ke persamaan momen lentur untuk mendapatkan nilai maksimumnya.

55.      Carilah nilai gaya dalam pada semua titik yang penting (terdapat beban, awal/akhir member).   Gambarkan bidang gaya dalam dan cantumkan nilainya berdasarkan perhitungan.

Konstruksi Pelengkung / Portal Tiga Sendi

Konstruksi Pelengkung / Portal Tiga Sendi

Konstruksi portal tiga sendi adalah struktur statis tertentu yang memiliki 3 titik sendi pada struktur itu, dua sendi luar satu sendi dalam.  Pada soal portal tiga sendi ada 2 persamaan keseimbangan tambahan yang harus dipenuhi untuk mencari nilai reaksi perletakan, yaitu :

Σ M_{s kiri} = 0   dan Σ M_{s kanan} = 0

Contoh soal portal tiga sendi adalah sebagai berikut :

Pada soal ini, arah reaksi perletakan diasumsi sebagai berikut :

V_A ke atas (↑)

V_B ke atas (↑)

H_A ke kanan (→)

H_B ke kiri (←)

Pada umumnya, reaksi vertikal mengarah ke atas dan reaksi horisontal mengarah ke "dalam" / "inti" struktur.  Asumsi-asumsi diatas didasarkan hal ini.

Σ M_A = 0 → - (200 x 3) (1.5) + 500 (4.5) - 400 (1) - V_B (10) + H_B (1) = 0

-10 V_B + H_B = -950  .............................(a)

Σ M_{s kanan} = 0 → 500 (2.5) + 400 (2) - V_B (8) + H_B (4) = 0

-8 V_B + 4 H_B = -2050 ....................................(b)

Dengan mengeliminasi persamaan (a) dan (b) diperoleh nilai :

V_B  = 54.6875 kN (↑)

H_B  = -403.125 kN (→, berlawanan arah dengan permisalan)

Σ M_B = 0 → V_A (10) + H_A (1) - (200 x 3)(1,5 + 10) - 500 (2,5 + 3) - 400 (2) = 0

10 V_A  + H_A = 10450 ................................(c)

Σ M_{S kiri} = 0 → V_A (2) - H_A (3) - (200 x 3)(1,5 + 2) = 0

2 V_A - 3 H_A = 2100 .....................................(d)

Dengan mengeliminasi persamaan (c) dan (d) diperoleh nilai :

V_A  = 1045.3125 kN (↑)

H_A  = -3.125 kN (←, berlawanan arah dengan permisalan)

Check Σ V = 0 dan Σ H = 0

V_A  + V_B - (200 x 3) - 500 = 1045.3125 + 54.6875 -600 - 500 = 0 (OK)

H_A - H_B - 400 = -3.125 - (-403.125) - 400 = 0 (OK)

Konstruksi Balok Gerber

Konstruksi Balok Gerber

Konstruksi balok gerber adalah suatu konstruksi balok yang terdapat titik yang tidak dapat terjadi momen lentur karena momen lentur pada titik itu seolah-olah dilepas (di-release).  Pada soal-soal, titik dimana momen dilepas disebut titik sendi dalam dan biasanya ditandai dengan tanda lingkaran (∘) dengan notasi S.  Sendi dalam ini akan memungkinkan adanya balok dan perletakan tambahan tanpa membuat struktur itu menjadi statis tak tentu (statically indeterminate structure) sehingga reaksi perletakan tetap masih dapat dicari dengan menggunakan tiga persamaan keseimbangan.  Struktur balok gerber ini sebenarnya ada dua balok, satu balok yang dipikul balok yang lebih stabil, dan balok yang stabil untuk memikul balok yang satu lagi.  

Sumber: Wikimedia Commons

Dari gambar di atas, terlihat dua balok pada ujung kiri kanan dipikul/disupport oleh balok yang di tengah.  Balok yang dipikul akan dikerjakan dahulu, dan reaksi-rekasinya akan diteruskan dan dijadikan sebagai beban pada balok yang memikul.  Berikut ini adalah beberapa contoh balok gerber dengan ilustrasi balok yang mana yang dipikul dan balok yang mana yang memikul.

Untuk lebih jelas, simak contoh-contoh soal berikut ini.

Contoh soal konstruksi balok Gerber

Hitunglah reaksi perletakan pada konstruksi balok gerber di atas

Lihat bagian balok yang dipikul dahulu (S-B-D)

Σ M_S = 0 → 60 (1.5) + 100 (7) - V_B (5) = 0

5 V_B  = 790

V_B = 158 kN (↑)

Σ M_B = 0 →  V_s (5) - 60(3.5) + 100 (2) = 0

5 V_S  = 10

V_s = 2 kN (↑)

Σ H = 0 → -H_S + 100 = 0 → H_S = 100 kN (←)

Lihat balok yang memikul (A-C-S)

Σ V = 0 → V_A - 300 -2 - 160 = 0

V_A = 462 kN (↑)

Σ H = 0 → -H­_A + H_S = 0

-H_A + 100 = 0

H_A = 100 kN (←)

Σ M_A = 0 → -M_A + 160 (2) + 300 (4) + V_S (6) = 0

M_A = 320 + 1200 +12 = 1532 kNm (↺)

Contoh Soal : Balok Portal dengan Gerber

Hitunglah reaksi perletakan pada konstruksi balok gerber di atas

Portal A-B-D-E-F-G-S sendiri sudah stabil, sehingga bagian S-C-H dilihat dahulu karena bagian itu menumpang pada portal A-B-D-E-F-G-S

Σ H = 0 → -H_S + 300 = 0

H_S = 300 kN (←)

Σ M_S = 0 → - V_C (5) + (200 x 5) (2,5) + 300 (2) = 0

V_C = 920 kN (↑)

Σ M_C = 0 → V_S (5) - (200 x 5) (2,5) + 300 (2) = 0

V_S = 380 kN (↑)

Check Σ V = 0 → V_S + V_C - (200 x 5) - 300 = 380 +920 -1000 -300 = 0 (OK)

Lihat portal A-B-D-E-F-G-S setelah diperoleh reaksi dari bagian S-C-H.

Pada soal ini, arah reaksi perletakan diasumsi sebagai berikut :

V_A ke atas (↑)

V_B ke atas (↑)

H_A ke kanan (→)

Σ H = 0 → -H_A + H_S - 200 + 400 = 0

H_A + 300 - 200 + 400 = 0

H_A = -500 kN (asumsi salah)

H_A = 500 kN (←)

Σ M_A = 0 → -V_B (5) - H_S (6) + V_S (7) + 200 (5) - 200 (6) + 400 (3) + 400 (6) - (200 x 2) (1) = 0

5 V_B  = 7400

V_B  = 1492 kN (↑)

Σ M_B = 0 → V_A (5) + H_A (2) - (200 x 2)(5 + 1) - 400 (2) + 400 (4) - 200(4) + V_S (2) + H_S (4) = 0

5V_A = -1000 + 2400 -700 -1200

V_A = -112 kN

V_A = 112 kN (↓)

Check  Σ V = 0

V_A  + V_B - (200 x 2) - 400 - 200 - V_S = -112 + 1492 - 400 - 600 -380 = 0 (OK)

Reaksi Perletakan Balok dan Portal Sederhana

Reaksi Perletakan Balok dan Portal Sederhana

Agar suatu sistem (dalam hal ini balok dan portal sederhana) dalam keadaan statis/tidak bergerak, harus ada beberapa perletakan pada sistem tersebut agar gaya-gaya luar dilawan/diimbangi oleh perletakan.  Besaran gaya-gaya reaksi perletakan juga dapat dihitung.

Di dalam statika ada tiga syarat statis yang harus dipenuhi:

ΣV = 0
ΣH = 0
ΣM = 0

*ingat Momen gaya adalah besar gaya dikali jarak terhadap satu titik acuan.  Apabila gaya membuat titik acuan berputar searah jarum jam, maka momen gaya bernilai positif. Apabila gaya membuat titik acuan berputar berlawanan arah jarum jam, maka momen gaya bernilai negatif. 

Jumlah gaya vertikal, gaya horizontal, dan momen gaya harus sama dengan nol.

Langkah-langkah yang diambil untuk mencari reaksi perletakan sendi/rol:

1. Pastikan konstruksi tersebut adalah statis tertentu (dapat diselesaikan dengan tiga persamaan statika)
2. Untuk konstruksi sendi/rol, pilih salah titik yang ada perletakan, lalu hitung jumlah momen gaya pada titik tersebut dan itu disamadengankan nol untuk mencari besaran reaksi perletakan yang lain(ΣM = 0)  Setelah jumlah momen disamadengankan nol, pakai alejbar sederhana untuk menghitung varibel yang dicari.
3. Setelah reaksi perletakan dicari, check apakah hasil perhitungan benar dan statis dengan menjumlahkan semua gaya dalam sumbu vertikal.  (ΣV = 0)
4. Reaksi horisontal pada sendi dicari dengan persamaan ΣH = 0.
5. Untuk gaya yang miring, pakai trigonometri untuk menguraikan gaya tersebut menjadi dua gaya(satu vertikal, satu horisontal)

Perjanjian arah yang diambil adalah:

Vertikal positif ke atas
Horisontal positif ke kanan
Momen positif searah jarum jam











Contoh-contoh Soal:

Hitung semua reaksi perletakan.

Soal 1.

Pada soal diatas terdapat satu gaya terpusat 50kN terletak 8m di sebelah kanan titik A.  Titik A adalah perletakan sendi sehingga mempunyai reaksi vertikal dan horisontal.  Titik B adalah perletkan rol sehingga hanya mempunyai reaksi vertikal.

Misalkan : V_A ke atas ↑, V_B ke atas ↑, H_B ke kanan →

ΣM_A = 0

ΣM_A = + 50kN ( 8m) – V_B (10m) = 0

400 kNm = 10 V_B

V_B = 40 kN (↑)

ΣM_B = 0

ΣM_B = + V_A ( 10m) – 50 kN (2m) = 0

100 kNm = 10 V_A

V_A = 10 kN (↑)

Check ΣV = 0 ?

+V_A  - 50 kN + V_B = 0

+10 kN – 50 kN + 40 kN = 0

0 = 0 (OK)

ΣH = 0

H_A = 0 (tidak ada reaksi horisontal)

Soal 2.

Pada soal di atas terdapat dua jenis pembebanan luar: beban merata sepanjang 12 m (titik A ke B) dan beban terpusat 240 kN di ujung kantilever (ujung bebas).  Beban merata tersebut akan dianggap beban terpusat yang bekerja di tengahnya (6m di kanan A) sebesar q*l (10 kN/m * 12m = 120 kN).  Titik A adalah perletakan sendi sehingga mempunyai reaksi vertikal dan horisontal.  Titik B adalah perletkan rol sehingga hanya mempunyai reaksi vertikal.

Misalkan : V_A ke atas ↑, V_B ke atas ↑, H_B ke kanan →

ΣM_A = 0

ΣM_A = + 10 kN/m  (12m)  (6m) – V_B (12m) + 240 kN (16m) = 0

4560 kNm = 12 V_B

V_B = 380 kN (↑)

ΣM_B = 0

ΣM_B = + V_A ( 12m) – 10 kN/m (12m) (6m) + 240 kN (4m) = 0

-240 kNm = 12 V_A

V_A = -20 kN (negatif berarti pemisalan arah V_A salah)

V_A = 20 kN (↓)

Check ΣV = 0 ?

-V_A  - q*L   + V_B  - 80 kN = 0

-20 kN – 10 * 12 kN + 380 kN  - 240 kN = 0

0 = 0 (OK)

ΣH = 0

+H_A = 0

Soal 3

Pada soal di atas terdapat sebuah portal sederhana dengan beban merata dengan nilai q = 15 kN/m beban terpusat 120 kN yang bekerja tegak lurus member yang miring.  Gaya ini harus diurai menjadi komponen vertikal dan horisontal terlebih dahulu degan bantuan trigonometri

sudut alfa dicari dengan perbandingan trigonometri. Pertama panjang sisi miring dicari dengan rumus pitagoras.  Kemudian nilai sin dan cos sudut alfa dicari dengan 

sin α = depan/miring
cos α = samping / miring

Sin α = 4/5 = 0,8

Cos α = 3/5 = 0,6

Lalu sin dan cos alfa dipakai untuk mengurai gaya yang miring 

ΣH = 0

-H_A  + 120*cos α = 0

H_A = 120*0,6 = 72 kN (←)

ΣM_A = 0

ΣM_A = + 120*sin α  kN (1,5m)  + 120*cos α kN (2m)  +  15 kN/m (5m) (4m+2,5m) – V_B (6m)= 0

775,5  kNm = 6 V_B

V_B = 129,25 kN (↑)

*jangan lupa menghitung momen akibat gaya horisontal.

ΣM_B = 0

ΣM_B = + V_A ( 6m) + H_A (4m) – 120*sin α  kN  (4,5m)  - 120*cos α kN (2m) + 15 kN/m (5m) (0,5m) = 0

250,5 kNm = 6 V_A

V_A = 41,75 kN (↑)

Check ΣV = 0 ?

+V_A  -120*sin α - q*L   + V_B  = 0

+41,75 kN – 120(0,8) kN -  15 kN/m  (5m) + 129,25 kN = 0

0 = 0 (OK)

Soal 4

Hitunglah reaksi perletakan pada struktur di atas.

Σ V = 0 → V_A - 800 - 150 = 0

V_A = 950 kN (↑)

Σ H = 0 → - H_A + 200 = 0

H_A = 200 kN (←)

Σ M_A = 0 → -M_A + 200 (5 + 1.5) + 800 (2) + 150 (4) = 0

M_A = 1300 + 1600 + 600 = 3500 kNm (↺)

Pada soal di atas terdapat beban melayang, beban ini dikerjakan seperti biasa dengan nilai q dikali panjang horisontalnya, bukan panjang miring.  

Soal 5

Hitunglah reaksi perletakan pada struktur di atas.

Σ V = 0 → V_A - 200 - 300 - 800 = 0

V_A  = 1300 kN (↑)

Σ H = 0 → H_A­  - 300 = 0

H_A = 300 kN (→)

Σ M_A = 0 → -M_A + 800 (4) + 300 (4) + 300 (4) + 200 (8) = 0

M_A = 3200 + 1200 + 1200 +1600 = 7200 kNm (↺)

*dalam perhitungan gaya miring diuraikan menjadi komponen horisontal dan vertikal terlebih dahulu

Letak Gaya Resultan Gaya-Gaya Sejajar

Letak Gaya Resultan Gaya-Gaya Sejajar

Untuk mencari besar dan letak titik tangkap gaya resultan dapat dilakukan secara analitis(hitungan) atau secara grafis(gambar)

Secara analitis:

Pertama tetapkan perjanjian arah (di mana yang positif, di mana yang negatif).  Di sini akan di ambil perjanjian arah seperti berikut

            Sumbu X positif ke kanan (gaya horisontal ke kanan positif)

            Sumbu Y positif ke atas (gaya vertikal ke atas positif)

            Searah jarum jam positif (momen searah jarum jam positif)

*untuk perjanjian arah momen juga sering dipakai berlawanan arah jarum jam sebagai momen positif.  Ini tidak masalah asal tetapan ini diikuti secara konsisten dalam mengerjakan soal.

*ingat Momen gaya adalah besar gaya dikali jarak terhadap satu titik acuan.  Apabila gaya membuat titik acuan berputar searah jarum jam, maka momen gaya bernilai positif. Apabila gaya membuat titik acuan berputar berlawanan arah jarum jam, maka momen gaya bernilai negatif. 

Hitung besar gaya resultan dengan menjumlahkan semua gaya dalam sumbu yang sama.  

R = ΣP

Dimana
R = gaya resultan
P = gaya luar

Untuk menghitung letak resultan gaya, dianggap momen akibat gaya-gaya pada sistem akan sama dengan momen akibat gaya resultan di titik mana pun.

ΣM (akibat gaya-gaya) = ΣM (akibat gaya resultan)

Secara Grafis:

1. tentukan skala tertentu
2. menggambar/menyusun gaya-gaya secara berurutan
3. ambillah titik bebas(titik kutup) lalu tarik garis dari titik awal ke titip kutup tersebut (garis 1).  Lalu tarik garis dari akhir gaya pertama ke titik kutup (garis 2).  Ulangi sampai semua gaya ditarik garisnya.  Memberikan nomor agar lebih mudah diingat.
4. Gambar sistem gaya dengan jarak sesuai skala.
5. Tarik garis sejajar garis pertama dari diagram gaya (langkah 2 dan 3) sehingga memotong garis kerja gaya pertama pada sistem (di letak manapun)
6. Tarik garis sejajar garis kedua dari diagram gaya sehingga memotong garis kerja gaya pertama DAN garis yang dibuat pada langkah 5.
7. Tarik garis sejajar garis ketiga dari diagram gaya sehingga memotong garis kerja gaya kedua DAN garis yang dibuat pada langkah sebelumnya.
8. Ulangi langkah 8 sampai tersisa satu garis yang belum ditarik dari diagram gaya.
9. Tarik garis sejajar garis terakhir dari diagram gaya sehingga memotong garis terakhir yang dibuat pada langkah 8 dan memotong garis yang dibuat pada langkah 5 (garis 1).
10. Titik potong dari langkah 9 adalah letak gaya resulante. (diukur jaraknya sesuai skala)

Perhatikan contoh soal di bawah ini:

Hitunglah letak dan besar gaya resultan secara grafis dan analitis

Secara Analitis: 

Gaya Resultan:                                                   

R = P1 + P2 + P3 + P4

   = -40 + 20 – 50 + 30

  = - 40 kN

Gaya Resultan sebesar 40 kN ke BAWAH (hasil negatif)

Letak Gaya Resultan

Di titik potong gaya P = 40kN (titik A) .  Misalkan gaya resultan ada di sebelah KANAN titik A

ΣM (akibat gaya-gaya) = ΣM (akibat gaya resultan)  

40 (0) - 20 (2) + 50 (4) - 30 (8) = +40 (x)                    *gaya R posittif karena momen searah jarum jam

   0     -    40    +  200   -   240    =  +40x

-80 = +40x

  x = - 2m (pemisalan salah)

Letak gaya resultan berada 2m di sebelah KIRI titik A.  Hasil negatif berarti pemisalan letak pada awal soal salah.

Secara grafis