Penguraian dan Penjumlahan Vektor Gaya

Penguraian Gaya dan Gaya Resultan

Gaya merupakan vektor, sehingga mempunyai besar dan arah.  Karena beberapa gaya dapat bekerja pada suatu sistem dengan berbagai arah, gaya harus diuraikan menjadi komponen X dan komponen Y agar perhitungannya lebih muda.

Sebelum memulai penguraian gaya, dalil Pitagoras dan perbandingan trigonometri (sin, cos, tan) harus dikuasai.

Dalil Pitagoras (Pythagorean Theorem) 

Pada satu segitiga tegak, terdapat dua sisi yang lurus/tegak dan satu sisi yang miring.  Dengan menggunakan rumus pitagoras, kita dapat mencari besaran/panjang sisi miring tersebut dengan hanya mengetahui besaran/panjang kedua sisi yang lain. Hal ini juga berlaku untuk suatu gaya. Contoh diketahui satu gaya yang sejajar sumbu X dengan besaran tertentu dan satu gaya yang sejajar sumbu Y dengan besaran tertentu dan kedua gaya tersebut memiliki titik kerja/pegang yang sama.  Dari informasi ini, kita dapat mencari satu gaya dengan besaran dan arah yang sama dengan jumlah/gambungan kedua gaya awal dan bekerja pada titik pegang yang sama juga.

Perbandingan Trigonometri:
Perbandingan trigonometri terdapat tiga fungsi dasar yaitui, Sin, Cos, dan Tan.  Ketiga fungsi ini akan sangat membantu dalam menentukan arah gaya resultan dan penguraian gaya miring.
Pertama misalkan terdapat dengan kaki x, kaki y, sisi miring h, dan sudut teta.  Di sini, kaki x adalah sisi yang ada di samping sudut teta, kaki y adalah sisi yang ada di depan sudut teta.  Maka akan diperoleh perbandingan seperti berikut

                  atau

Maka akan diperoleh:

Sisi Depan Sudut = Sisi Miring × Sin(Ѳ)

Sisi Samping Sudut = Sisi Miring × Cos(Ѳ)

Fungsi Invers Trigonometri juga dipakai untuk mencari besar sudut bila dua sisi sudah diketahui.

θ = arcsin (depan / miring)

θ = arccos (samping / miring)

θ = arctan (depan / samping)

*pada kalkulator, fungsi invers trigonometri ditandai dgn :

arcsin = sin^-1 

arccos = cos^-1

arctan = tan^-1

Contoh-contoh soal:

1.  diketahui θ = 60º
c = 10

Hitunglah a dan b

cos θ = a/c
a = c * cos θ
   = 10 * cos 60
a = 5

sin θ = b/c
b = c * sin θ
   = 10 * sin 60
b = 8,66

Jawaban dapat dicek menggunakan rumus pitagoras.

a² + b² = c² 

5² + 8,66² = 10²

25 + 75 = 100

100 = 100 (ok)

2.  Bila diketahui
a = 6
b = 10

Hitunglah c dan sudut θ

a² + b² = c²

6² + 10² = c² 

36 + 100 = c²

136 = c² 

c = 11,66

θ = arctan (depan / samping)

θ = arctan (b / a)

θ = arctan (10 / 6)

θ = 59,04º

3. Terdapat gaya miring P = 45 kN seperti digambar yang bekerja dengan sudut 53 derajat.

Hitung komponen X (horisontal) dan Y (vertikal) gaya tersebut.

Px = P cos θ
     = 45kN * cos 53
     = 27,08 kN

Py = P * sin θ
     = 45kN * sin 53
     = 35,94 kN





Cara graifs.
Suatu vektor dapat diurai atau dijumlahkan dengar cara menggambar gaya tersebut.
Untuk penguraian suatu vektor menjadi komponen X(horisontal) dan Y(vertikal) :

1. Tentukan skala. Contoh 10kN = 1 cm
2. Gambar gaya sesuai skala (panjang) dan arah (sudut) yang benar.
3. Tarik garis horisontal dan vertikal di ujung anak panah.
4. Tarik garis horisontal & vertikal mulai di titik kerja sampai garis dari langkah no 3
5. Ukur garis tersebut sesuai skala yang ditentukan untuk mendapat besaran gaya
6. Anggaplah titik kerja sama dengan gaya semula.

Untuk penjumlahan atau mencari gaya resultan:

1. Gambar gaya pertama sesuai skala dan arah.
2. Gambar gaya berikutnya mulai di ujung anak panah gaya sebelumnya (titik kerja gaya baru ada di anak panah gaya sebelumnya)
3. Menysusun semua gaya dengan langkah no 2.
4. Tarik garis dari titik kerja gaya pertama ke ujung anak panah gaya terakhir.  Itu adalah gaya resultan.
5. Ukur garis tersebut sesuai skala yang ditentukan untuk mendapat besaran gaya
6. Ukur sudut (pakai busur) dari garis horisontal untuk mendapat arah.

Prinsip-Prinsip Dasar Statika

Pengertian Statika

Statika adalah cabang dari ilmu mekanika teknik yang mempelajari hubungan gaya-gaya atau pembebanan yang bekerja pada suatu sistem atau konstruksi yang dalam keadaan diam/seimbang/statis.  Ilmu statika sangat penting dalam dunia teknik sipil karena suatu konstruksi atau proyek harus direncanakan supaya tetap dalam keadaan statis (tidak begerak) walaupun sudah ada pembebanan atau gaya-gaya yang bekerja pada konstruksi tersebut, sehingga tidak membahayakan orang-orang yang akan memakai gedung tersebut.  Pada mata kuliah statika, tipe-tipe konstruksi yang dipelajari disederhanakan terlebih dulu, dengan mengabaikan beberapa faktor seperti sifat bahan atau dimensi ketiga. Sebelum memulai pelajaran statika, harus sudah mengenal dasar-dasar fisika mekanika. Sebelum masuk bahan-bahan statika, beberapa pengertian dari fisika mekanika direview terlebih dahulu.

Gaya

Gaya secara umum adalah suatu bentuk perubahan. Dalam fisika mekanika, gaya adalah sesuatu yang membuat suatu benda mengubah kecepatannya.  Gaya adalah suatu besar vektor, sehingga mempunyai besaran (kg, N, kN, ton, dyne, dsb.) dan arah tertentu.  Mata kuliah statika memperhatikan dua jenis gaya, gaya luar/eksternal, gaya-gaya yang sumbernya berada di luar sistem yang amati, dan gaya dalam/internal, gaya-gaya yang berada di dalam sistem yang amati.  Gaya pada umumnya bekerja secara lurus horizontal atau lurus vertikal, tetapi sering juga dijumpai gaya-gaya yang bekerja pada sistem tertentu dengan sudut tertentu (gaya miring).

Gaya itu dilukiskan sebagai sepotong garis lurus yang berujung tanda panah dan biasa disebut sebagai vector.

Contoh gaya horizontal

Contoh gaya miring

Panjangnya melukiskan besar gaya, tanda panah menunjukkan arah kerja gaya.  Jika gaya tersebut bekerja pada sebuah benda maka tempat memegang gaya tersebut disebut titik pegangan atau titik pangkal yang pada umumnya titik berat dari benda tersebut sedang garis yang ditarik melalui titik pegang ini arahnya sama dengan arah kerja gaya yang disebut garis kerja gaya.  Gaya tidak akan berubah sifatnya apabila dipindah-pindahkan dalam garis kerja yang sama

Untuk gaya yang miring, agar pengerjakan soal mudah, diuraikan terlebih dahulu dalam arah sejajar sumbu X dan arah sejajar sumbu Y.

Jenis-Jenis Pembebanan Luar

Beban Terpusat (Point Load):
Beban terpusat adalah pembebanan paling sederhana.  Pembebanan ini hanya bekerja pada satu titik pegang dengan arah dan besaran tertentu.

Beban Merata (Uniformly Distributed Load):
Beban merata adalah pembebanan yang bekerja di atas daerah tertentu dan dapat mempunyai bentuk yang bervariasi (persegi panjang, segitiga, parabola).   Pembebanan ini dinotasikan degan q (kN/m).  Besar gaya beban merata dihitung dengan cara mencari luasan beban merata yang bekerja pada titik berat jenis beban merata.

Beban merata berbentuk persegi panjang

Beban merata berbentuk segitiga

Letak titik berat beban merata :


Untuk beban merata berbenuk trapesium, dapat dipecah menjadi dua beban merata (satu persegi panjang, satu segitiga)

Momen:
Beban luar ketiga yang juga sering dijumpai adalah beban berupa momen.  Beban momen mempunyai besaran momen (kNm) dengan arah putaran (searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam).

Beban berupa momen

Berdasarkan kemampuan untuk bergerak atau tidak, beban juga dapat dikategorikan menjadi:

Beban Mati (Dead Loads):

Kita mengenal yang disebut beban mati yaitu beban yang tidak bisa dipindah-pindahkan (posisinya tetap) di mana beban tersebut adalah gaya yang garis kerjanya adalah sama dengan arah gravitasi bumi.  Pembebanan seperti ini biasanya berupa beban akibat beratnya sendiri atau akibat elemen-elemen lain yang melekat pada konstruksi tersebut secara pernamen.  Contoh-contoh beban mati adalah berat lantai, dinding, kolum, atap, dll.

Beban Hidup (Live Loads)

Beban hidup berbeda dengan mati karena bersifat dinamis, sehingga dapat bergerak dari satu tempat ke tempat yang lain.  Contoh beban hidup adalah truk yang berjalan di atas satu jembatan dan gaya yang bekerja pada jembatan adalah berat truk yang dipikul oleh roda-roda truk.

Ada pula terdapat beban kenaan pada bangunan ( imposed load ) . Mereka kadangkala penting dalam reka bentuk bangunan. Antaranya adalah :

• beban angin - beban angin pada bangunan adalah dalam bentuk beban yang seragam (distributed) yang boleh bertindak pugak dari permukaan bangunan atau selari dengannya.

 getaran dan gempa bumi - kesan yang tepat dari gempa bumi adalah pergerakan / getaran bumi yang berlaku dari kejutan gelombang dari pusat gempabumi. Getaran boleh menyebabkan masalah kepada bangunan serta penghuninya. 

Persamaan Kesetimbangan

Di dalam statika, ada tiga syarat yang harus dipenuhi untuk keadaan statis, yaitu:

• ΣV=0                        (gaya vertikal)
• ΣH=0                        (gaya horisontal)
• ΣM=0                       (momen gaya)

Artinya untuk suatu sistem yang statis, jumlah gaya vertikal dan horisontal harus nol (saling menghabiskan/tidak bergeser) dan jumlah momen untuk setiap titik harus nol (tidak berputar).

Apabila satu sistem terima beban luar, dia akan bergerak, maka diperlukan perletakan untuk memberi gaya reaksi untuk melawan gaya luar tersebut, sehingga sistem dalam keadaan statis. 

Konstruksi Serta Perletakannya

Komponen-komponen yang harus diperhatikan selain beban eksternal adalah beban reaksi akibat beban luar pada suatu konstruksi.  Gaya reaksi ini berasal dari perletakan yang terdapat pada suatu konstruksi yang berfungsi untuk menyimbangi gaya-gaya luar yang bekerja pada konstruksi tersebut. Di statika dikenalkan tiga tipe perletakan dasar, dengan sejumlah reaksi perletakan masing-masing. 

• Perletakan Rol (roller support) : Perletakan ini hanya  memiliki satu gaya reaksi yang arahnya tegak lurus permukaan perletakan.  Perletakan rol dapat bebas bergerak secara translateral (samping) dan dapat berputar, tetapi tidak dapat bergerak sejajar arah reaksi perletakan.
• Perletakan Sendi (pin support) :  Perletakan ini memiliki dua gaya reaksi, satu dalam arah horizontal (Fx) dan satu lagi dalam arah vertikal (Fy), tetapi perletakan ini tidak dapat menahan momen (putaran) sehingga tidak mempunyai reaksi momen.  Pada perletakan ini sistem tidak dapat mengalami translasi tetapi masih dapat mengalami putaran.

• Perletakan Jepit (fixed support) : Perletakan ini memiliki tiga gaya reaksi, gaya reaksi dalam arah horizontal, gaya reaksi dalam arah vertikal, dan reaksi momen, sehingga perletakan ini dapat menahan translasi dalam segala arah dan rotasi.

Contoh-contoh Konstruksi Lengkap dengan Pembebanan dan Reaksinya