Bidang Gaya Dalam Konstruksi Portal / Pelengkung Tiga Sendi

Bidang Gaya Dalam Konstruksi Portal / Pelengkung Tiga Sendi

Hitung dan gambar bidang Gaya Dalam (M, L, N)

Asumsi arah reaksi V_A dan V_B ke atas, H_A ke kanan, dan H_B ke kiri

tan α = 4/3     sin α = 0.8            cos α = 0.6

Σ M_B  = 0 → V_A (9) - H_A (1) - 1200 (4) - (800 x 6) 3 - 600 (3) = 0

9 V_A - H_A = 21000  .........................................................................................................(a)

Σ M_{s kiri}  = 0 → -(800 x 2) + V_A (5) - H_A (4) = 0

5V_A - 4 H_A = 1600 ............................................................................................................(b)

Dari hasil eliminasi atau substitusi pers. (a) dan (b) diperoleh :

V_A = 2658 kg (↑) dan H_A = 2922.5 kg (→)

Σ M_A  = 0 → -V_B (9) - H_B (1) + (800 x 6)(3+3) + 1200(5) - 600(4) = 0

9 V_B + H_B = 32400  .........................................................................................................(c)

Σ M_{s kanan}  = 0 → -V_B (4) + H_B (3) + (800 x 4)2 = 0

4V_B - 3 H_B = 6400   ............................................................................................................(d)

Dari hasil eliminasi atau substitusi pers. (c) dan (d) diperoleh :

V_B = 3342 kg (↑) dan H_B = 2322.6  kg (←)

Check :

Σ V = 0? → V_A + V_B - 1200 - (800 x 6) = 0 (OK)

Σ H = 0? → H_A - H_B - 600 = 0 (OK)

Interval untuk persamaan gaya dalam ditentukan sebagai berikut

Interval 1 (0 < x₁ < 3 m)

M_x1 = V_A x₁ - H_A x₁ tan α = 2658x₁ - 2922.5 (4/3 x₁) = -1238.67 x₁

x₁ = 0 → M_x1 = 0

x₁ = 3 m → M_x1 = -3716.01 kg m ≈ 3716 kg m (∩)

L_x1 = V_A cos α - H_A sin α = 2658 (3/5) - 2922.5 (4/5) = -743.2 kg (⇃↾)

N_x1 = -V_A sin α - H_A cos α = -2650 (4/5) - 2922.5 (3/5) = -3879.9 kg (tekan)

Interval 2 (0 < x₂ < 2 m)

M_x2        = V_A (3+x₂) - H_A (4) - q x₂ (0.5 x₂) = 2658(3+x₂) - 2922.5 (4) - 400 x₂²

M_x2        = -3716 + 2658 x₂ - 400 x₂²

x₂ = 0 → M_x2 = -3716 kg m (∩)

x₂ = 1 m → M_x2 = -1450 kg m (∩)

x₂ = 2 m → M_x2 = 0 (momen lentur pada titik sendi dalam harus nol)

L_x2 = V_A -q x₂ = 2658-800x₂

x₂ = 0 → L_x2 = 2658 kg (↿⇂)

x₂ = 2 m → L_x2 = 1058 kg  (↿⇂)

N_x2 = -H_A = 2922.5 kg (tekan)

Interval 3 (0 < x₃ < 3 m)

M_x3 = -H_B (x₃) = -2322.6 x₃

x₃ = 0 → M_x3 = 0

x₃ = 3 m → M_x3 = -6967.8  kg m (∩)

L_x3 = +H_B = 2322.6 kg (↿⇂)

N_x3 = -V_B = -3342  kg (tekan)

Interval 4 (0 < x₄ < 4 m)

M_x4        = V_B x₄ - H_B (3) - q x₄ (0.5 x₄)

M_x4        = -400 x₄² + 3342 x₄ - 6967.8

x₄ = 0 → M_x4 = -6967.8 kg m (∩)

x₄ = 2 m → M_x4 = -1883.8 kg m (∩)

x₄ = 4 m → M_x4 = 0 (momen lentur pada titik sendi dalam harus nol)

L_x4 = -V_B  + q x₄ = -3342 + 800x₄

x₄ = 0 → L_x4 = -3342 kg (⇃↾)

x₄ = 4 m → L_x4 = -142 kg  (⇃↾)

N_x4 = -H_B - 600 = -2922.6 kg (tekan)

Bidang Gaya Dalam (M, L, N) *tidak berskala

 Bidang Momen Lentur

 Bidang Gaya Lintang

Bidang Gaya Normal

Bidang Gaya Dalam Konstruksi Balok Gerber

Bidang Gaya Dalam Konstruksi Balok Gerber

Hitung dan gambar bidang M, L, N pada konstruksi balok gerber ini

Pada soal ini, arah reaksi perletakan diasumsi sebagai berikut :

V_A dan  V_B  ke atas (↑)

H_B ke kiri (↑)

M_A berlawanan arah jarum jam (↺)

Lihat konstruksi SDBC (bagian yang dipikul) lebih dahulu

Σ M_C = 0 → -V_B (5) + (40 x 3)1.5 + 30 (7) = 0

5V_B = 390

V_B = 78 kN (↑)

Σ M_B = 0 → V_S (5) + 30 (2) - (40 x 3)(1.5 + 2) = 0

5V_S = 360

V_S = 72 kN (↑)

Σ H = 0 → H_S + 30 = 0

H_S = 30 kN (←)

Check Σ V = 0?

V_S + V_B - (40 x 3) - 30 = 0

72 + 78 - 120 -30 = 0 (OK)

Lihat konstruksi AES (bagian yang memikul balok SDBC)

Σ V = 0 → V_A = 72 + 50 x 2 = 172 kN (↑)

Σ H =0 → H_A = H_S = 30 kN (←)

Σ M_A = 0 → -M_A + (50 x 2) + V_S (5) = 0

M_A = 460 kNm (↺)

Interval-interval untuk perhitungan gaya dalam :

Interval 1 (0 < x₁ < 3m)

M_X1        = V_S x₁ - q x₁ (0.5x₁)

              = 72 x₁ - 0.5 (40) x₁²

              = 72 x₁ - 20x₁²

x₁ = 0 → M_x1 = 0      (nilai momen lentur pada sendi dalam/gerber harus nol)

x₁ = 1.5 m → M_x1 = 63 kN m (∪)

x₁ = 3 m → M_x1 = 36 kN m (∪)

Letak dan besar momen maksimum :

dM_x1 / dx₁ = 0 → -40 x₁ + 72 = 0 → x₁ = 1.8 m

M_max = 72 (1.8) - 20 (1.8)² = 64.8 kN m (∪)

L_x1 = V_s - q x₁ = 72 - 40 x₁

x₁ = 0 → L_x1 = 72 kN (↿⇂)

x₁ = 3 m → L_x1 = -48 kN m (⇃↾)

N_x1 = H_s = 30 kN (tarik)

Interval 2 (0 < x₂ < 2m)

M_x2 = -30 x₂

x₂  = 0 → M_x2 = 0

x₂ = 2m → M_x2 = -60 kN m (∩)

L_x2 = 20 kN (↿⇂)

N_x2 = 30 kN (tarik)

Interval 3 (0 < x₃ < 2m)

M_x3        = V_B x₃ - 30 (2 + x₃)

              = 78 x₃ - 60 - 30x₃

              = 48 x₃ - 60

x₃  = 0 → M_x3 = -60 kN m (∩)

x₃ = 2m → M_x3 = 30 kN m (∪)

L_x3 = 30 - V_B = -48 kN (⇃↾)

N_x2 = 30 kN (tarik)

Interval 4 (0 < x₄ < 3m)

M_x4 = -V_S x₄ = -72 x₄

x₄  = 0 → M_x4 = 0  (nilai momen lentur pada sendi dalam/gerber harus nol)

x₄ = 3m → M_x4 = -216 kN m (∩)

L_x4 = V_S = 172  kN (↿⇂)

N_x4 = H_S = 30 kN (tarik)

Interval 5 (0 < x₅ < 2m)

M_X5        = -V_S (3+x₅) - q x₅ (0.5x₅)

              = -72 (3 + x₅) - 0.5 (50) x₅²

              = -216 - 72 x₅ - 25x₅²

x₅ = 0 → M_x5 = 0

x₅ = 1 m → M_x5 = -313 kN m (∩)

x₅ = 2 m → M_x5 = -460 kN m (∩)

L_x5 = V_s + q x₅ = 72 + 50 x₅

x₅ = 0 → L_x5 = 72 kN (↿⇂)

x₅ = 2 m → L_x5 = 172 kN m (↿⇂)

N_x5 = H_s = 30 kN (tarik)

Bidang Gaya Dalam M, L, N (tidak berskala)

Urut dari atas ke bawah :

1. Bidang Momen Lentur

2. Bidang Gaya Lintang

3. Bidang Gaya Normal

Bidang Gaya Dalam Balok dan Portal Sederhana

Soal 1 : Balok Sederhana dengan Kantilever di Sisi Kanan

 Hitung dan gambar bidang M, L, N dari struktur di atas.

Pada soal ini, arah reaksi perletakan diasumsi sebagai berikut :

V_A ke atas (↑)

V_B ke atas (↑)

H_A ke kanan (→)

Σ H = 0 → H_A - 400 + 200 = 0

H_A = 200 kN (→)

Σ M_A = 0 → -V_B (5) + (600 x 3) (1.5) + 400(3) + 200(7) = 0

5V_B = 5300

V_B = 1060 kN (↑)

Σ M_B = 0 → V_A (5) + 200 (2) - 400 (2) - (600 x 3)(3.5) = 0

5V_A = 6700

V_A = 1340 kN (↑)

Check Σ V = 0?

V_A + V_B - (600x3) - 400 - 200 = 0

1340 + 1060 - 1800 - 600 = 0 (OK)

Interval untuk gaya dalam ditentukan sebagai berikut :

 Interval 1 (0 < x₁ < 3m)    [lihat kiri]

M_x1        = +V_A x₁ - q x₁ (0.5 x₁)

              = 1340 x₁ - 0.5 (600) (x₁²)

              = 1340 x₁ - 300x₁²                            (persamaan derajat 2 / pangkat 2)

x₁ = 0 → M_x1 = 0

x₁ = 1.5 m → M_x1 = 1335 kNm (∪)

x₁ = 3 m → M_x1 = 1320 kNm (∪)

L_x1         = +V_A - q x₁ = 1340 - 600 x₁

x₁ = 0 → L_x1 = 1340 kN (↿⇂)

x₁ = 3 m → L_x1 = -460 kN (⇃↾)

Mencari letak dan besaran momen maksimum :  L_x = 0

1340 - 600 x₁ = 0 → x₁ = 2.2333 m

M_max = 1340 (2.2333) - 300 (2.2333)² = 1496.3333 kNm

N_x1 = -H_A = -200 kN (tekan)

Interval 2 (0 < x₂ < 2m)    [lihat kanan]

M_x2        =  -200x₂                                               (garis lurus / linear)

x₂ = 0 → M_x2 = 0

x₂ = 2 m → M_x2 = -400 kNm (∩)

L_x2         = 200 kN (↿⇂)

N_x2        = 2000 kN (tarik)

Interval 3 (0 < x₃ < 2 m)    [lihat kiri]

M_x3        =  -200(2 + x₃) + V_B x₃

              = 860 x₃ - 400                                           (garis lurus / linear)

x₃  = 0 → M_x3 = -400 kNm (∩)

x₃  = 2 m → M_x2 = 1720 - 400 = 1320 kNm (∪)

L_x3 = 200 - V_B = 200 - 1060 = -860 kN (⇃↾)

N_x3 = 200 kN (tarik)

Hasil perhitungan nilai gaya dalam di atas kemudian diplot untuk mendapatkan bidang gaya dalam.

Gambar Bidang Gaya Dalam (M, L, N)

 *bidang gaya dalam tidak berskala

Urutan gambar dari atas ke bawah adalah, bidang momen lentur, bidang gaya lintang, bidang gaya normal.



Soal 2 : Portal Sederhana dengan Kantilever

Hitung dan gambar bidang M, L, N

tanα = 4/3          sinα = 0.8         cosα = 0.6

Pada soal ini, arah reaksi perletakan diasumsi sebagai berikut :

V_A ke atas (↑)

V_B ke atas (↑)

H_A ke kanan (→)

Σ H = 0 → H_A + 30 = 0

H_A  = -30 kN (asumsi salah)

H_A = 30 kN (→)

Σ M_A = 0 → -V_B (8) + 30(10) + 30(4) + (40 x 5)(3+2.5) + 60(1.5) =0

V_B = 201.25 kN (↑)

Σ M_B = 0 → V_A (8) + H_A (4) - 60 (1.5 +5) - (40 x 5)2.5 + 30(2) = 0

8V_A = 710

V_A = 88.75 kN (↑)

Check Σ V = 0?

V_A + V_B - 60 - (40 x 5) - 30 = 0

88.75 + 201.25 - 60 -200 -30 = 0 (OK)

Interval untuk gaya dalam ditentukan sebagai berikut :

 Interval 1 (0 < x₁ < 1.5 m)

M_x1        = V_A (x₁) + H_A tan α x₁

                        = 88.75 x₁ + 40x₁ = 128.75x₁

x₁ = 0 → M_x1 = 0

x₁ = 1.5 m → M_x1 = 193.125 kN m (∪)

L_x1         = V_A cos α + H_A sin α

              = 88.75 (0.6) + 30 (0.8) = 77.25 kN (↿⇂)

N­_x1        = -V_A sin α + H_A cos α

              = -88.75 (0.8) + 30 (0.6) = -53 kN (tekan)

Interval 2 (0 < x₂ < 1.5 m)

M_x2        = V_A (1.5 + x₂) + H_A (2 + 4/3 x₂) - 60 x₂

              = 193.125 + 68.75 x₂

x₂ = 0 → M_x2 = 193.125 kNm (∪)

x₂ = 1.5 m → M_x2 = 296.25 kNm (∪)

L_x2         = V_A cos α + H_A sin α - 60 cos α 

              = 88.75 (0.6) + 30 (0.8) - 60 (0.6) = 41.25 kN (↿⇂)

N­_x2        = -V_A sin α + H_A cos α + 60  sin α

              = -88.75 (0.8) + 30 (0.6) + 60 (0.8) = -5 kN (tekan)

Interval 3 (0 < x₃ < 2m)

M_x3        = - 30 x₃

x₃ = 0 → M_x3 = 0

x₃ = 2 m → M_x3 = -60 kNm (∩)

L_x3 = 30 kN (↿⇂)

N_x3 = 30 kN (tarik)

Interval 4 (0 < x₄ < 5m)

M_x4        = - 30 (2 + x₄) - q x₄ (0.5 x₄) + V_B (x₄)

              = -20 x₄² + 171.25 x₄ - 60

x₄ = 0 → M_x4 = 0

x₄ = 2.5 m → M_x4 = 243.125 kNm (∪)

x₄ = 5 m → M_x4 = 296.25 kNm (∪)

Mencari letak dan besaran momen maksimum :  L_x = 0

-40 x₄ + 171.25 = 0 → x₄ = 4.28125 m

M_max = -20 (4.28125) ² + 171.25 (4.28125)  - 60= 306.5820 kNm

L_x4         = 30 - V_B + q x₄

              = 171.25 + 40x₄

x₄ = 0 → L_x4 = -171.25 kN (⇃↾)

x₄ = 5 m → L_x4 = 28.75 kN (↿⇂)

N_x4 = 30 kN (tarik)

Gambar Bidang Gaya Dalam (M, L, N)   *tidak berskala

 Bidang Momen Lentur

Bidang Gaya Lintang

 Bidang Gaya Normal

Soal 3: Balok Kantilever

Hitung dan gambar bidang M, L, N

Σ V = 0 → V_A - (40 x 3) - 60 = 0

V_A = 180 kN (↑)

Σ H = 0 → -H_A + 60 = 0

H_A = 60 kN (←)

Σ M_A = 0 → -M_A + 120(1.5) + 60(6) = 0

M_A = 540 kN m (↺)

Interval untuk gaya dalam ditentukan sebagai berikut :

Interval 1 (0 < x₁ < 3m)

M_x1                      = -M_A + V_A x₁ - q x₁ (0.5 x₁)

                             = -20 x₁² + 180 x₁ - 540

x₁ = 0 → M_x1 = -540 kN m (∩)

x₁ = 1.5 m → M_x1 = -315 kN m (∩)

x₁ = 3 m → M_x1 = -180 kN m (∩)

L_x1 = V_A - 40x₁ = 180 - 40x₁

x₁ = 0 → L_x1 = 180 kN (↿⇂)

x₁ = 3 m → L_x1 = 60 kN (↿⇂)

N_x1 = H_A = 60 kN (tarik)

Interval 2 (0 < x₂ < 3m)

M_x2 = -60x₂

x₂ = 0 → M_x2  = 0

x₂ = 3 m  → M_x2  = -180 kN m (∩)

L_x2 = 80 kN (↿⇂)

N_x2 = 60 kN (tarik)

Gambar Bidang Gaya Dalam (M, L, N)   *tidak berskala

Soal 4: Portal Jepit Bebas

Hitung dan gambar bidang gaya dalam

tan α = 1.5 / 3 = 0.5

α = 26.5651°

tan β = 1.5 / 4 = 0.275

β = 20.5560°

Σ V = 0 → V_A - 160 - 20 = 0

V_A = 180 kN (↑)

Σ H = 0 → -30 + H_A = 0

H_A = 30 kN (→)

Σ M_A = 0 → 160 (2) - 30(6 + 1.5) - 20(3) - M_A = 0

M_A = 35 kN m (↺)

Interval untuk gaya dalam ditentukan sebagai berikut :

Interval 1 (0 < x₁ < 6 m)

M_x1 = -M_A - H_A x₁ = -35 - 30x₁

x₁ = 0 → M_x1  = -35 kNm (∩)

x₁ = 6 m → M_x1 =-215 kNm (∩)

L_x1 = -H_A = -30 kN  (⇃↾)

N_x1 = -V_A = -180 kN (tekan)

Interval 2 (0 < x₂ < 3 m)

M_x2 = -20x₂

x₂ = 0 → M_x2 = 0

x₂ = 3 m → M_x2 = -60 kNm (∩)

L_x2 = -P cos α = -20 cos (26.5651° ) = -17.8892 kN  (⇃↾)

N_x2 = -P sin α = -20 sin (26.5651°) = - 8.9443 kN (tekan)

Interval 3 (0 < x₃ < 4 m)

M_x3        = -q x₃ (0.5 x₃) + 30 tan β  x₃

              = -20x₃² + 11.25 x₃

x₃ = 0 → M_x3 = 0

x₃ = 2 m → M_x3 = -57.5 kN m

x₃ = 4 m → M_x3 = -275 kN m

Letak dan besar momen maksimum :

x₃ = 0.2812 m

M_max = -20(0.2812) ² + 11.25 (0.2812) = 1.582 kN m (∪)

L_x3              = q x₃ cos β - 30 sin β

                   = 37.4532 x₃ - 10.5337

x₃ = 0 → L_x3 = -10.5337 kN  (⇃↾)

x₃ = 4 m → L_x3 = 139.2591 kN  (↿⇂)

N_x3             = -q x₃ sin β - 30 cos β

                   = -14.0449 x₃  - 28.0899

x₃ = 0 → N_x3 = -28.0899kN  (tekan)

x₃ = 4 m → N_x3 = -84.2695 kN  (tekan)

Check keseimbangan momen titik B

Σ M_B = 0 → 215 +60 - 275 = 0 (OK)

 Bidang Momen Lentur

 Bidang Gaya Lintang

Bidang Gaya Normal

Soal 5 : Portal dengan beban lateral / horisontal

Hitung dan gambar bidang M, L, N

Pada soal ini, arah reaksi perletakan diasumsi sebagai berikut :

V_A ke atas (↑)

V_B ke atas (↑)

H_B ke kanan (→)

tan α = 4/3   sin α = 0.8     cos α = 0.6

Σ H = 0 → H_B­ - 1200 + (800 x 4) = -2000 kg (asumsi salah)

H_B = 2000 kg (←)

Σ M_A = 0 → (800 x 4) (2) - 1200 (4) - V_B (4) = 0

4 V_B = 1600

V_B = 400 kg (↑)

Σ M_B = 0 → (800 x 4) (2) - 1200 (4) + V_A (4) = 0

4 V_A  = -1600

V_A = -400 (pemisalan salah)

V_A = 400 kg (↓)

Interval untuk menghitung gaya dalam ditentukan sebagai berikut :

Interval 1 (0 < x₁ < 4m)

M_x1 = -0.5 q x₁² = -40 x₁²

x₁ = 0 → M_x1 = 0

x₁ = 2 m → M_x1 = -1600 kg m (∩)

x₁ = 4 m → M_x1 = -6400 kg m (∩)

L_x1 = -q x₁ = -800 x₁

x₁ = 0 → L_x1 = 0

x₁ = 4m → L_x1 = - 3200 kg (⇃↾)

N_x1 = V_A = 400 kg (tarik)

Interval 2 (0 < x₂ < 7 m)

M_x2 = -V_A x₂ - (800 x 4)2 = -400  x₂ - 6400

x₂ = 0 → M_x2 = -6400 kg m

x₂ = 7 m → M_x2 = -9200 kg m

L_x2 = -V_A = - 400 kg (⇃↾)

N_x2 = - (800 x 4) = -3200 kg (tekan)

Interval 3 (0 < x₃ < 3 m)

M_x3 = -V_B x₃ - H_B (4/3 x₃) = -3066.667 x₃

x₃ = 0 → M_x3 = 0

x₃ = 3 m → M_x3 = -9200 kg m

L_x3 = V_B cos α + H_B sin α  = 400 (0.6) + 2000 (0.8) = 1840 kg (↿⇂)

N_x3 = -V_B sin α + H_B cos α = -400 (0.8) + 2000 (0.6) = 880 kg (tarik)

Bidang Gaya Dalam (*tidak berskala)

Bidang Momen Lentur

 Bidang Gaya Lintang

Bidang Gaya Normal