Bidang Gaya Dalam Konstruksi Balok Gerber

Bidang Gaya Dalam Konstruksi Balok Gerber

Hitung dan gambar bidang M, L, N pada konstruksi balok gerber ini

Pada soal ini, arah reaksi perletakan diasumsi sebagai berikut :

V_A dan  V_B  ke atas (↑)

H_B ke kiri (↑)

M_A berlawanan arah jarum jam (↺)

Lihat konstruksi SDBC (bagian yang dipikul) lebih dahulu

Σ M_C = 0 → -V_B (5) + (40 x 3)1.5 + 30 (7) = 0

5V_B = 390

V_B = 78 kN (↑)

Σ M_B = 0 → V_S (5) + 30 (2) - (40 x 3)(1.5 + 2) = 0

5V_S = 360

V_S = 72 kN (↑)

Σ H = 0 → H_S + 30 = 0

H_S = 30 kN (←)

Check Σ V = 0?

V_S + V_B - (40 x 3) - 30 = 0

72 + 78 - 120 -30 = 0 (OK)

Lihat konstruksi AES (bagian yang memikul balok SDBC)

Σ V = 0 → V_A = 72 + 50 x 2 = 172 kN (↑)

Σ H =0 → H_A = H_S = 30 kN (←)

Σ M_A = 0 → -M_A + (50 x 2) + V_S (5) = 0

M_A = 460 kNm (↺)

Interval-interval untuk perhitungan gaya dalam :

Interval 1 (0 < x₁ < 3m)

M_X1        = V_S x₁ - q x₁ (0.5x₁)

              = 72 x₁ - 0.5 (40) x₁²

              = 72 x₁ - 20x₁²

x₁ = 0 → M_x1 = 0      (nilai momen lentur pada sendi dalam/gerber harus nol)

x₁ = 1.5 m → M_x1 = 63 kN m (∪)

x₁ = 3 m → M_x1 = 36 kN m (∪)

Letak dan besar momen maksimum :

dM_x1 / dx₁ = 0 → -40 x₁ + 72 = 0 → x₁ = 1.8 m

M_max = 72 (1.8) - 20 (1.8)² = 64.8 kN m (∪)

L_x1 = V_s - q x₁ = 72 - 40 x₁

x₁ = 0 → L_x1 = 72 kN (↿⇂)

x₁ = 3 m → L_x1 = -48 kN m (⇃↾)

N_x1 = H_s = 30 kN (tarik)

Interval 2 (0 < x₂ < 2m)

M_x2 = -30 x₂

x₂  = 0 → M_x2 = 0

x₂ = 2m → M_x2 = -60 kN m (∩)

L_x2 = 20 kN (↿⇂)

N_x2 = 30 kN (tarik)

Interval 3 (0 < x₃ < 2m)

M_x3        = V_B x₃ - 30 (2 + x₃)

              = 78 x₃ - 60 - 30x₃

              = 48 x₃ - 60

x₃  = 0 → M_x3 = -60 kN m (∩)

x₃ = 2m → M_x3 = 30 kN m (∪)

L_x3 = 30 - V_B = -48 kN (⇃↾)

N_x2 = 30 kN (tarik)

Interval 4 (0 < x₄ < 3m)

M_x4 = -V_S x₄ = -72 x₄

x₄  = 0 → M_x4 = 0  (nilai momen lentur pada sendi dalam/gerber harus nol)

x₄ = 3m → M_x4 = -216 kN m (∩)

L_x4 = V_S = 172  kN (↿⇂)

N_x4 = H_S = 30 kN (tarik)

Interval 5 (0 < x₅ < 2m)

M_X5        = -V_S (3+x₅) - q x₅ (0.5x₅)

              = -72 (3 + x₅) - 0.5 (50) x₅²

              = -216 - 72 x₅ - 25x₅²

x₅ = 0 → M_x5 = 0

x₅ = 1 m → M_x5 = -313 kN m (∩)

x₅ = 2 m → M_x5 = -460 kN m (∩)

L_x5 = V_s + q x₅ = 72 + 50 x₅

x₅ = 0 → L_x5 = 72 kN (↿⇂)

x₅ = 2 m → L_x5 = 172 kN m (↿⇂)

N_x5 = H_s = 30 kN (tarik)

Bidang Gaya Dalam M, L, N (tidak berskala)

Urut dari atas ke bawah :

1. Bidang Momen Lentur

2. Bidang Gaya Lintang

3. Bidang Gaya Normal

Bidang Gaya Dalam Balok dan Portal Sederhana

Soal 1 : Balok Sederhana dengan Kantilever di Sisi Kanan

 Hitung dan gambar bidang M, L, N dari struktur di atas.

Pada soal ini, arah reaksi perletakan diasumsi sebagai berikut :

V_A ke atas (↑)

V_B ke atas (↑)

H_A ke kanan (→)

Σ H = 0 → H_A - 400 + 200 = 0

H_A = 200 kN (→)

Σ M_A = 0 → -V_B (5) + (600 x 3) (1.5) + 400(3) + 200(7) = 0

5V_B = 5300

V_B = 1060 kN (↑)

Σ M_B = 0 → V_A (5) + 200 (2) - 400 (2) - (600 x 3)(3.5) = 0

5V_A = 6700

V_A = 1340 kN (↑)

Check Σ V = 0?

V_A + V_B - (600x3) - 400 - 200 = 0

1340 + 1060 - 1800 - 600 = 0 (OK)

Interval untuk gaya dalam ditentukan sebagai berikut :

 Interval 1 (0 < x₁ < 3m)    [lihat kiri]

M_x1        = +V_A x₁ - q x₁ (0.5 x₁)

              = 1340 x₁ - 0.5 (600) (x₁²)

              = 1340 x₁ - 300x₁²                            (persamaan derajat 2 / pangkat 2)

x₁ = 0 → M_x1 = 0

x₁ = 1.5 m → M_x1 = 1335 kNm (∪)

x₁ = 3 m → M_x1 = 1320 kNm (∪)

L_x1         = +V_A - q x₁ = 1340 - 600 x₁

x₁ = 0 → L_x1 = 1340 kN (↿⇂)

x₁ = 3 m → L_x1 = -460 kN (⇃↾)

Mencari letak dan besaran momen maksimum :  L_x = 0

1340 - 600 x₁ = 0 → x₁ = 2.2333 m

M_max = 1340 (2.2333) - 300 (2.2333)² = 1496.3333 kNm

N_x1 = -H_A = -200 kN (tekan)

Interval 2 (0 < x₂ < 2m)    [lihat kanan]

M_x2        =  -200x₂                                               (garis lurus / linear)

x₂ = 0 → M_x2 = 0

x₂ = 2 m → M_x2 = -400 kNm (∩)

L_x2         = 200 kN (↿⇂)

N_x2        = 2000 kN (tarik)

Interval 3 (0 < x₃ < 2 m)    [lihat kiri]

M_x3        =  -200(2 + x₃) + V_B x₃

              = 860 x₃ - 400                                           (garis lurus / linear)

x₃  = 0 → M_x3 = -400 kNm (∩)

x₃  = 2 m → M_x2 = 1720 - 400 = 1320 kNm (∪)

L_x3 = 200 - V_B = 200 - 1060 = -860 kN (⇃↾)

N_x3 = 200 kN (tarik)

Hasil perhitungan nilai gaya dalam di atas kemudian diplot untuk mendapatkan bidang gaya dalam.

Gambar Bidang Gaya Dalam (M, L, N)

 *bidang gaya dalam tidak berskala

Urutan gambar dari atas ke bawah adalah, bidang momen lentur, bidang gaya lintang, bidang gaya normal.



Soal 2 : Portal Sederhana dengan Kantilever

Hitung dan gambar bidang M, L, N

tanα = 4/3          sinα = 0.8         cosα = 0.6

Pada soal ini, arah reaksi perletakan diasumsi sebagai berikut :

V_A ke atas (↑)

V_B ke atas (↑)

H_A ke kanan (→)

Σ H = 0 → H_A + 30 = 0

H_A  = -30 kN (asumsi salah)

H_A = 30 kN (→)

Σ M_A = 0 → -V_B (8) + 30(10) + 30(4) + (40 x 5)(3+2.5) + 60(1.5) =0

V_B = 201.25 kN (↑)

Σ M_B = 0 → V_A (8) + H_A (4) - 60 (1.5 +5) - (40 x 5)2.5 + 30(2) = 0

8V_A = 710

V_A = 88.75 kN (↑)

Check Σ V = 0?

V_A + V_B - 60 - (40 x 5) - 30 = 0

88.75 + 201.25 - 60 -200 -30 = 0 (OK)

Interval untuk gaya dalam ditentukan sebagai berikut :

 Interval 1 (0 < x₁ < 1.5 m)

M_x1        = V_A (x₁) + H_A tan α x₁

                        = 88.75 x₁ + 40x₁ = 128.75x₁

x₁ = 0 → M_x1 = 0

x₁ = 1.5 m → M_x1 = 193.125 kN m (∪)

L_x1         = V_A cos α + H_A sin α

              = 88.75 (0.6) + 30 (0.8) = 77.25 kN (↿⇂)

N­_x1        = -V_A sin α + H_A cos α

              = -88.75 (0.8) + 30 (0.6) = -53 kN (tekan)

Interval 2 (0 < x₂ < 1.5 m)

M_x2        = V_A (1.5 + x₂) + H_A (2 + 4/3 x₂) - 60 x₂

              = 193.125 + 68.75 x₂

x₂ = 0 → M_x2 = 193.125 kNm (∪)

x₂ = 1.5 m → M_x2 = 296.25 kNm (∪)

L_x2         = V_A cos α + H_A sin α - 60 cos α 

              = 88.75 (0.6) + 30 (0.8) - 60 (0.6) = 41.25 kN (↿⇂)

N­_x2        = -V_A sin α + H_A cos α + 60  sin α

              = -88.75 (0.8) + 30 (0.6) + 60 (0.8) = -5 kN (tekan)

Interval 3 (0 < x₃ < 2m)

M_x3        = - 30 x₃

x₃ = 0 → M_x3 = 0

x₃ = 2 m → M_x3 = -60 kNm (∩)

L_x3 = 30 kN (↿⇂)

N_x3 = 30 kN (tarik)

Interval 4 (0 < x₄ < 5m)

M_x4        = - 30 (2 + x₄) - q x₄ (0.5 x₄) + V_B (x₄)

              = -20 x₄² + 171.25 x₄ - 60

x₄ = 0 → M_x4 = 0

x₄ = 2.5 m → M_x4 = 243.125 kNm (∪)

x₄ = 5 m → M_x4 = 296.25 kNm (∪)

Mencari letak dan besaran momen maksimum :  L_x = 0

-40 x₄ + 171.25 = 0 → x₄ = 4.28125 m

M_max = -20 (4.28125) ² + 171.25 (4.28125)  - 60= 306.5820 kNm

L_x4         = 30 - V_B + q x₄

              = 171.25 + 40x₄

x₄ = 0 → L_x4 = -171.25 kN (⇃↾)

x₄ = 5 m → L_x4 = 28.75 kN (↿⇂)

N_x4 = 30 kN (tarik)

Gambar Bidang Gaya Dalam (M, L, N)   *tidak berskala

 Bidang Momen Lentur

Bidang Gaya Lintang

 Bidang Gaya Normal

Soal 3: Balok Kantilever

Hitung dan gambar bidang M, L, N

Σ V = 0 → V_A - (40 x 3) - 60 = 0

V_A = 180 kN (↑)

Σ H = 0 → -H_A + 60 = 0

H_A = 60 kN (←)

Σ M_A = 0 → -M_A + 120(1.5) + 60(6) = 0

M_A = 540 kN m (↺)

Interval untuk gaya dalam ditentukan sebagai berikut :

Interval 1 (0 < x₁ < 3m)

M_x1                      = -M_A + V_A x₁ - q x₁ (0.5 x₁)

                             = -20 x₁² + 180 x₁ - 540

x₁ = 0 → M_x1 = -540 kN m (∩)

x₁ = 1.5 m → M_x1 = -315 kN m (∩)

x₁ = 3 m → M_x1 = -180 kN m (∩)

L_x1 = V_A - 40x₁ = 180 - 40x₁

x₁ = 0 → L_x1 = 180 kN (↿⇂)

x₁ = 3 m → L_x1 = 60 kN (↿⇂)

N_x1 = H_A = 60 kN (tarik)

Interval 2 (0 < x₂ < 3m)

M_x2 = -60x₂

x₂ = 0 → M_x2  = 0

x₂ = 3 m  → M_x2  = -180 kN m (∩)

L_x2 = 80 kN (↿⇂)

N_x2 = 60 kN (tarik)

Gambar Bidang Gaya Dalam (M, L, N)   *tidak berskala

Soal 4: Portal Jepit Bebas

Hitung dan gambar bidang gaya dalam

tan α = 1.5 / 3 = 0.5

α = 26.5651°

tan β = 1.5 / 4 = 0.275

β = 20.5560°

Σ V = 0 → V_A - 160 - 20 = 0

V_A = 180 kN (↑)

Σ H = 0 → -30 + H_A = 0

H_A = 30 kN (→)

Σ M_A = 0 → 160 (2) - 30(6 + 1.5) - 20(3) - M_A = 0

M_A = 35 kN m (↺)

Interval untuk gaya dalam ditentukan sebagai berikut :

Interval 1 (0 < x₁ < 6 m)

M_x1 = -M_A - H_A x₁ = -35 - 30x₁

x₁ = 0 → M_x1  = -35 kNm (∩)

x₁ = 6 m → M_x1 =-215 kNm (∩)

L_x1 = -H_A = -30 kN  (⇃↾)

N_x1 = -V_A = -180 kN (tekan)

Interval 2 (0 < x₂ < 3 m)

M_x2 = -20x₂

x₂ = 0 → M_x2 = 0

x₂ = 3 m → M_x2 = -60 kNm (∩)

L_x2 = -P cos α = -20 cos (26.5651° ) = -17.8892 kN  (⇃↾)

N_x2 = -P sin α = -20 sin (26.5651°) = - 8.9443 kN (tekan)

Interval 3 (0 < x₃ < 4 m)

M_x3        = -q x₃ (0.5 x₃) + 30 tan β  x₃

              = -20x₃² + 11.25 x₃

x₃ = 0 → M_x3 = 0

x₃ = 2 m → M_x3 = -57.5 kN m

x₃ = 4 m → M_x3 = -275 kN m

Letak dan besar momen maksimum :

x₃ = 0.2812 m

M_max = -20(0.2812) ² + 11.25 (0.2812) = 1.582 kN m (∪)

L_x3              = q x₃ cos β - 30 sin β

                   = 37.4532 x₃ - 10.5337

x₃ = 0 → L_x3 = -10.5337 kN  (⇃↾)

x₃ = 4 m → L_x3 = 139.2591 kN  (↿⇂)

N_x3             = -q x₃ sin β - 30 cos β

                   = -14.0449 x₃  - 28.0899

x₃ = 0 → N_x3 = -28.0899kN  (tekan)

x₃ = 4 m → N_x3 = -84.2695 kN  (tekan)

Check keseimbangan momen titik B

Σ M_B = 0 → 215 +60 - 275 = 0 (OK)

 Bidang Momen Lentur

 Bidang Gaya Lintang

Bidang Gaya Normal

Soal 5 : Portal dengan beban lateral / horisontal

Hitung dan gambar bidang M, L, N

Pada soal ini, arah reaksi perletakan diasumsi sebagai berikut :

V_A ke atas (↑)

V_B ke atas (↑)

H_B ke kanan (→)

tan α = 4/3   sin α = 0.8     cos α = 0.6

Σ H = 0 → H_B­ - 1200 + (800 x 4) = -2000 kg (asumsi salah)

H_B = 2000 kg (←)

Σ M_A = 0 → (800 x 4) (2) - 1200 (4) - V_B (4) = 0

4 V_B = 1600

V_B = 400 kg (↑)

Σ M_B = 0 → (800 x 4) (2) - 1200 (4) + V_A (4) = 0

4 V_A  = -1600

V_A = -400 (pemisalan salah)

V_A = 400 kg (↓)

Interval untuk menghitung gaya dalam ditentukan sebagai berikut :

Interval 1 (0 < x₁ < 4m)

M_x1 = -0.5 q x₁² = -40 x₁²

x₁ = 0 → M_x1 = 0

x₁ = 2 m → M_x1 = -1600 kg m (∩)

x₁ = 4 m → M_x1 = -6400 kg m (∩)

L_x1 = -q x₁ = -800 x₁

x₁ = 0 → L_x1 = 0

x₁ = 4m → L_x1 = - 3200 kg (⇃↾)

N_x1 = V_A = 400 kg (tarik)

Interval 2 (0 < x₂ < 7 m)

M_x2 = -V_A x₂ - (800 x 4)2 = -400  x₂ - 6400

x₂ = 0 → M_x2 = -6400 kg m

x₂ = 7 m → M_x2 = -9200 kg m

L_x2 = -V_A = - 400 kg (⇃↾)

N_x2 = - (800 x 4) = -3200 kg (tekan)

Interval 3 (0 < x₃ < 3 m)

M_x3 = -V_B x₃ - H_B (4/3 x₃) = -3066.667 x₃

x₃ = 0 → M_x3 = 0

x₃ = 3 m → M_x3 = -9200 kg m

L_x3 = V_B cos α + H_B sin α  = 400 (0.6) + 2000 (0.8) = 1840 kg (↿⇂)

N_x3 = -V_B sin α + H_B cos α = -400 (0.8) + 2000 (0.6) = 880 kg (tarik)

Bidang Gaya Dalam (*tidak berskala)

Bidang Momen Lentur

 Bidang Gaya Lintang

Bidang Gaya Normal

Pengantar Gaya Dalam

Gaya Dalam

Selain reaksi perletakan akibat beban luar, gaya-gaya dalam juga timbul di dalam suatu struktur akibat pembebanan luar.  Gaya dalam ini akan dikelompokkan menjadi 4 macam, namun hanya yang 3 pertama yang dicari dalam statika.

Dibawah ini terdapat gambaran balok tertumpu sederhana (simple beam) dengan potongan gaya-gaya dalam yang bekerja pada sembarang titik di balok tersebut.  Setelah struktur dipotong, syarat-syarat keseimbangan harus tetap terpenuhi, hal ini tercapai karena adanya gaya dalam.

Gambar di atas adalah balok tertumpu sederhana yang dibebani dengan beban merata w  dan beban horisontal P.  Pembebanan ini akan timbul beberapa macam gaya dalam pada suatu potongan seperti gambar berikut ini.

 Pada potongan dari gambar di atas, terlihat ada 3 gaya dalam dengan arah dan sifat yang berbeda-beda.  Tiga gaya dalam tersebut adalah:

1.   Gaya Normal / Aksial (Axial Force)

Gaya normal atau aksial adalah gaya dalam yang bekerja sejajar dengan as atau sumbu balok.  Pada gambar di atas, panah berwarna merah menunjukkan gaya dalam aksial yang timbul.  Terdapat dua sifat gaya normal, yaitu itu tarik (tension) dan tekan (compression).  Gaya nomal tarik terjadi saat gaya normal "menarik" elemennya atau arah gaya menjahui/meninggalkan potongan (←→) sedangkan gaya normal tekan terjadi saat gaya normal "menekan" elemennya atau arah gaya mendekati/menghampiri potongan (→←).  Pada umumnya, sifat tarik adalah postif (+) dan sifat tekan adalah negatif (-).  Di sini, gaya aksial diberi notasi "N".

 2.  Gaya Lintang / Geser (Shear Force)

Gaya lintang atau geser adalah gaya dalam yang bekerja tegak lurus dengan as atau sumbu balok.  Pada gambar di atas, panah berwarna biru menunjukkan gaya dalam lintang yang timbul.  Perjanjian arah untuk gaya lintang adalah positif untuk searah jarum jam (↑↓) dan negatif untuk berlawanan arah jarum jam (↓↑).   Pada gambar di atas gaya lintang pada potongan itu bertanda positif.  Di sini, gaya lintang diberi notasi "L".

3. Momen Lentur (Bending Moment / Flexure)

Momen lentur adalah gaya dalam yang berupa momen, di mana salah satu serat balok tertarik dan yang satu lagi tertekan.  Pada gambar di atas, panah berwarna hijau menunjukkan momen lentur yang timbul.  Karena suatu benda mengalami lentur, dia akan lengkung sehingga timbul tegangan tarik pada satu sisi dan tegangan tekan pada sisi yang lainnya.  Pada umunya, momen lentur positif adalah saat serat atas tekan dan serat bawah tarik, dan momen lentur negatif adalah saat serat atas tarik dan serat bawah tekan.  Arah momen lentur di atas adalah positif, di mana bisa dilihat arah panah "menekan" sisi atas dan "menarik" sisi bawah.  Notasi untuk momen positif adalah ∪ dan notasi untuk momen negatif adalah ∩.   Di sini, momen lentur diberi notasi "M".

Satu hal yang harus diingatkan, momen lentur adalah integral dari lintang (lintang adalah turunan dari momen lentur).  Jadi, dengan mengetahui hubungan ini, lokasi/letak nilai momen lentur maksimum dapat dicari dengan:

 Setelah mendapatkan nilai jarak x pada saat momen lentur maskimum, nilai tersebut diinput ke fungsi momen lentur untuk mendapatkan besaran momen lentur maksimum.

Gambar di atas adalah rangkuman perjanjian arah untuk gaya dalam yang positif, untuk potongan yang milihat ke kiri maupun ke kanan.  Panah warna merah adalah gaya aksial/normal, biru muda adalah lintang/geser, dan hijau adalah momen lentur.

Selain 3 macam gaya dalam yang sudah dijelaskan di atas, terdapat satu macam lagi yaitu momen torsi.  Namun pada statika, momen torsi ini blm di tinjau karena pemodelan struktur masih 2 dimensi. 

Nilai-nilai gaya dalam biasanya disajikan dalam bentuk grafis yang disebut bidang gaya dalam.  Bidang gaya dalam ini sangat membantu untuk melihat bagaimana pola dan nilai maksimum gaya dalam yang ditinjau.  Untuk bidang gaya normal dan lintang, nilai positif digambarkan di atas garis, untuk momen lentur, gambar bidang momen digambarkan pada sisi serat tarik.

Gaya-gaya dalam yang dihitung akan digunakan untuk mencari nilai tegangan yang terjadi pada suatu struktur.  Tegangan yang terjadi tidak boleh melebihi batas amannya.

Langkah-langkah menghitung gaya dalam :

11.      Carilah semua reaksi perletakan struktur

22.      Bagi struktur menjadi beberapa interval yang panjangnya dapat berbeda-beda.  Interval bisa dimulai dari arah mana aja (kiri/kanan) dan mulai pada saat x = 0 sampai x = panjang interval (0 < x < L).  Interval harus dibagi / harus dibuat interval baru setiap :

a.       Ketemu beban terpusat/titik (termasuk reaksi perletakan)

b.       Awal dan akhir beban merata

33.      Kalau terdapat gaya yang bekerja dalam arah yang tidak sejajar atau tegak lurus terhadap as balok, gaya tersebut harus diuraikan terlebih dahulu dalam arah yang sejajar dan tegak lurus as balok.

44.      Setelah semua interval sudah ditentukan, mulai cari persamaan gaya dalam (N, L, M)

a.       N = jumlahkan semua gaya yang bekerja sejajar garis member dikiri/kanan potongan.

b.       L = jumlahkan semua gaya yang bekerja tegak lurus garis member dikiri/kanan potongan.  Perhatikan, kalau terdapat beban merata pada interval yang dihitung, persamaan gaya lintang harus berupa fungsi dari x.
 [beban merata persegi fungsi derajat 1 (x), beban merata segitiga fungsi derjat 2 (x²), dst.]

c.       M = jumlahkan nilai momen terhadap suatu titik sembarang "x" pada interval yang dihitung.  Kalau terdapat beban tegak lurus garis member (beban transversal), persamaan momen lentur harus berupa fungsi dari x.
[beban terpusat fungsi derajat 1 (x), beban merata segiempat fungsi derjat 2  (x²), beban merata segitiga fungsi derjat 3  (x³),dst.]
Cari nilai momen lentur maksimum dengan mencari nilai x pada saat lintang = 0.  Lalu nilai x ini dimasukkan ke persamaan momen lentur untuk mendapatkan nilai maksimumnya.

55.      Carilah nilai gaya dalam pada semua titik yang penting (terdapat beban, awal/akhir member).   Gambarkan bidang gaya dalam dan cantumkan nilainya berdasarkan perhitungan.